20、概念的扩张

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当我们沿着数学发展史的轨迹，来探讨数学基础概念的演变时，会发现，数学中的基础研究对象所涵盖的意义越来越广，其相应的运算也越来越多，基础概念的扩张深化了数学思想，并且大大扩展了数学的应用范围。古典数学中的核心概念自然是数和形，而通过数轴或坐标系可以将两者联系并等价起来。

最早认识的数称之为自然数，尽管自然数在数学中似乎是最简单，最基础的概念，认识它们，尤其是认识零的概念却花费了漫长的岁月。之后伴随着应用的需求，逐渐引入新的概念来扩充数的范围：负数、有理数、实数直到复数。复数概念的引入一度占据了数学的关键位置，因为它能让之前无意义的运算比如负数的平方根变得有意义，而且得出了许多漂亮的定理，比实数领域的相应内容更加简洁完美。尽管后来陆续出现了四元数、八元数等范围更广的概念，但是并没有撼动复数的地位。当凯莱于1858年将矩阵这一概念作为独立的数学元素提出的时候，复数迎来了真正的对手。矩阵不仅具有普通复数的运算法则，而且具有自身独特的特征，如矩阵乘法一般不满足交换律、矩阵可以求转置、求逆、求特征值和特征向量等。凯莱提出，可以将复数和四元数、八元数等超复数作为矩阵看待，从这个角度看，矩阵是复数概念真正意义上的推广。而矩阵概念的一个自然推广是张量。矩阵是一个二维的表格，可以看作是m个行向量或者n个列向量组成的向量组，而张量则可以看作n维的表格，也就是按照不同模式划分的矩阵组或者小一点的张量组。

通过概念的扩张，我们找到了一些像矩阵、张量这样强大的基础概念，如果要做进一步的扩张，使我们的核心概念进一步扩充，似乎只能是元素与集合了。一个矩阵或张量可以认为是属于某个集合的元素，而元素和集合的概念就更加宽泛的多了，不仅可以表示实数、复数、向量、矩阵和张量，而且可以表示我们头脑中能够想象出来的任意概念。而集合内部的任意子集，甚至集合本身也可以看作一个元素。由实数或复数组成的任意函数可以作为元素构成集合，由所有的三角形可以构成集合，由一堆汉字或者一堆英文可以构成集合，由任意集合的任意子集作为元素也可以构成集合，甚至一群人、一个图书馆也是一个集合。集合与元素作为数学概念可以定义任意有意义的运算，因其研究对象的宽泛性和在数学中的核心地位，使之成为当之无愧的数学基础。

数学的发展是加速进行的，十八世纪的数学只占十九世纪的大约二十分之一，而现在的数学课题中大约有五分之一左右是十九世纪遗留的，而大约80%的课题则是新生的。十九世纪及其以前的著名数学家，主要是被称为世界四大数学家的阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。以他们为代表的数学家们主要在代数、几何、分析和数论等领域取得了丰硕的成果，并为二十世纪及其以后的数学积蓄了爆发的力量。二十世纪的数学家群星璀璨，其实力并不比四大数学家差，通过像希尔伯特、庞加莱、冯诺依曼、诺特、外尔、哥德尔、康托尔等数学家的努力，将数学对象的概念大大扩充了，不仅创立了大量新的数学研究领域，开创了大量新的课题，而且引入的一系列新的研究方法，对解决十九世纪遗留下来的大量经典问题提供了解决问题的钥匙，也为二十世纪的数学发展指明了方向。

十九世纪末，康托尔创立了集合论，从此拉开了二十世纪数学的大幕，康托尔的证明告诉我们，从有理数到实数概念的飞跃，是一种从可数集到不可数集的质的飞跃。通过对集合概念、结构及其分类的深入研究，最终诞生了结构数学和元数学这两个新的数学领域，数学研究对象的范围得到了空前的扩张，数学也从此翻开了新的一页。通过对数学自然对象进行扩充和进一步的抽象，产生了一系列重要的数学结构，如：群、环、域、格、线性空间、度量空间、拓扑空间、测度空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间、拓扑向量空间、微分流形、代数簇等，通过对这类概念的进一步扩充，抽象和推广，又产生了一系列新的数学研究对象，最终形成了结构数学这一新的庞大的数学分支。结构数学主要包括群论、环论、域论、格论、各类拓扑学、同调代数、K理论、测度论、泛函分析、算子代数等，以及由此衍生出的各类子分支。结构数学的一般思想是将在实数域及复数域上建立的一些数学理论推广到其它域上，从而形成新的分支领域，而在这些新领域出现的新成果又可以反过来促进经典问题的解决。

元数学主要包括公理集合论、递归论、证明论和模型论。元数学与新兴的计算机科学相结合，形成了一系列新的分支领域。元数学讨论的是数学内理论本身的无矛盾问题，哥德尔提出的不完备性定理表明，对于任意包含普通算术系统的数学理论，总是存在一些正确的命题，无法通过所给的公理来证明。哥德尔不完备性定理对数学哲学产生了深远的影响，是目前元数学领域的最高成就。

数学是一切自然科学的基础，数学概念的不断扩张以及数学所涵盖范围的不断扩大，必定会为解决问题提供大量新的思路和途径，从而促进其它自然科学的发展。而在像经济学、博弈论、计算机科学等需要大量数学的新兴领域，不断扩张的数学概念必然也会为其注入新的活力，提供解决这些新兴领域疑难问题的新方法。