43、雪花

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当我们将雪花放在显微镜下观察时，会发现，它的样子千变万化，种类极多，似乎没什么规律。但通过仔细观察和分析，仍然能够发现它遵循某种内在的规律性，例如，雪花都是六角形的，那是因为按照晶体结构分类，雪花属于六方晶系。尽管雪花结构由于水分子氢键方向的随机性，导致它的形成细节附带某种随机性，很难通过理论方法预测雪花形状，但就像雪花的六角形一样，某种统一的规律会在随机现象上留下痕迹，使某样事物既存在随机性和不确定性，又存在规律性和确定性。这启发我们，可以将某种规律性的知识或信息“写在”某种随机现象上，让信息体现在随机现象的统计方式或概率分布上，实现两种状态的统一。通过对雪花形状细节的观察，可以发现一个新的规律：自相似性。

雪花形状的一部分如果进行放大适当的倍数就会发现，它会与整体完全重合，这就是自相似性，自相似性是分形几何学的重要特征。1904年，瑞典数学家科赫最早提出了一种很像雪花的数学曲线，因此被命名为雪花曲线。雪花曲线的周长是无限的，但是一条无限长的曲线却围成了一个有限的面积。雪花曲线是一类发现较早的分形图形，它们往往和递归、无限等概念联系起来，雪花曲线周长是无限的，而且是一条存在无限个弯折的曲线，似乎比一维的直线“更长”，但显然不是二维的“曲线”，为刻画这种性质，分形几何学找到了一种描述它的方式：分数维。雪花曲线的维数是1.262，可以理解为，在这个维数的空间中，雪花曲线的周长既可以不是无限大，也可以不是0，这样我们就可以对它进行运算和分析。

物理学家惠勒说过，谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。分形概念通过对分数维的引入，暗示了一种我们驯服无穷大的方法。同时，像雪花这样的物理实体在自然界中广泛存在，例如海岸线的长度、树的分叉、河流的分支、天边的云朵、身体里的毛细血管和神经末梢等，它们的共同特征就是自相似性。这暗示我们，分形并不仅仅是一个几何学概念，它很可能对应某种物理实在，从而存在某种高于分形几何学概念的分形动力学。正是在这种与具体事物属性无关的普遍动力学规律的支配下，自然界中才会存在如此种类繁多的具有自相似性的现象。当然，自然界中这些分形事物并不是严格的分形图形，这源于事物本身的随机性和不确定性。然而它们表现出来的分形几何学自相似性的轮廓，让我们相信，分形动力学的规律恰恰就是书写在这些随机现象上的，它的规律并不是体现在具体的事物上，而是体现在事物分布的概率模式上。正是这一现象的普遍性和与具体事物属性无关的规律性，让未来建立在分形几何学基础上可能出现的分形动力学，很有可能成为与牛顿理论、麦克斯韦理论、相对论和量子理论一样基础的物理学，因为基础物理学的基本特性就是与具体事物属性无关，从而表现出具有极为广泛的适用性，可以应用于大量千差万别的物理系统。例如，在重力场中无论扔一块石头还是扔一个铅球，都是受同一个万有引力规律支配的。

自然界中这些普遍存在的分形现象，以及通过数学递归方法在计算机中产生的分形图案，让我们可以深入分析分形现象及它的内部规律。分形几何学引导出的分数维概念拓宽了我们的视野。我们的感官只能接受有限的事物，即使是思维，也很难理解与无限有关的概念，但是有了分数维可能就不同了。就像两个原始人比赛谁说的数大，其中一个说：三，另一个说：你赢了。因为在他们的世界里，三是最大的，其它更大的数统称为许多。我们面对无限的时候，或许也面临同样的问题，无限或许是一个拥有复杂精细结构的庞大整体，由于我们没有深入理解它，因此将它们简单粗暴的统一称呼。但是分形给了我们一双有可能理解无限的眼睛，从而以全新的方式和视角对无限进行分类甚至运算。一个在一维空间中的无限大，很可能在1.262维空间中是有限的，而一个在1.262维雪花空间中的无限大，则很有可能在1.5维或其它更高维空间中有限。我们的感官可以理解整数维的东西，不同整数维之间看上去没什么太大的关联，就连量纲都不同。但是分数维不一样，尽管我们无法直接感知到它们，但是它们也有可观测的效应，它们产生的效果以具有自相似性的分形图形的形式书写在了自然界大量的随机现象之中，通过对随机现象整体表现出来的某种具有分形结构的轮廓，我们可以提取出隐藏在其中的分数维空间中的信息。当时空的维数从分立的整数维扩展到连续的分数维时，我们对世界的认识或许会有一个更高层次的认识。分数维空间的信息可以通过分形图案泄露到我们的整数维空间，由此可以推测，不同维数的时空之间可能存在某种关联或相互作用，因此有可能建立一种包含了所有维数的几何学或动力学，在那里时空维数是一个连续的变量，物理实在在我们这个四维时空的投影构成了我们的现实世界。这样一幅包罗万象的庞大图景有可能会随着我们对分形的理解和探索成为现实。

也许在不久的将来，我们会找到分形动力学的基本方程，从而能够计算在确定的温度与湿度区间内，形成某种雪花形状的概率，或者计算其它一些更有意义的东西，将自然之美尽情展现在人们面前。