45、数学危机之微积分

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数学发展到十七世纪，在牛顿和莱布尼茨等人的努力下，一种被称为微积分的新数学横空出世，很快成为当时解决问题的重要工具，展现出了强大的力量。微积分方法实际上是一种关于无穷小的演算规则，通过这种规则进行计算，可以求解任意曲线在某点处的斜率、任意曲线围成的面积以及任意函数在什么地方能够得到它的极大值与极小值等，而且，伴随着微分方程与偏微分方程等理论的建立，微积分理论成为数学疆域里一块庞大的领地。

微积分强大的生命力主要来源于它的某种任意性或通用性。因为它的研究对象不是某个特殊的函数，而是满足一定条件的任意函数，只要随意写出一个函数，我们就可以应用微积分的标准方法和演算程序计算它的微分、积分与极值等一系列函数性质，因此是描述函数的绝佳工具。正是由于可以通过微积分方法统一处理任意形式的函数，才让它有了极为广泛的应用和基础的理论地位。既然微积分已经成为一大类数学的基础，那么就需要严格检验它的地基是否牢固。微积分的基础是无穷小量，然而这一无穷小量的演算过程却与当时人们的直觉和逻辑相违背。为了求出一个函数的导数或微分，需要先给函数自变量一个无穷小量，然后对它进行运算，待运算结束后，再让无穷小量等于零，就可以求出它的导函数。这一过程与当时的传统逻辑相矛盾。运算过程中无穷小量不能是零，否则运算无法进行，但是运算结束后必须让无穷小量等于零，否则结果中会附带一长串无穷小和高阶无穷小。那么无穷小量到底是不是零呢，这在当时并没有明确的答案，也因此引发了一系列争议。在科学领域，寻根究底的追问某件事到底是怎样的是一种普遍的思维模式，尽管它曾经在科学的发展过程中起到过推动作用，但是我们还是应该专门说明一下这种思维方式的缺陷。这种思维方式实际上就是认同，存在一个不随我们意志为转移的客观的外部世界，这个世界是清晰的，没有任何模糊概念的，我们总能回答出某件事到底会怎样，回答不出只是因为我们能力有限。但是我们现在知道，世界不是这个样子的，有些现象，尤其是微观现象，我们必须用一种看上去很模糊的语言来描述，而无法去说到底会怎样。在单电子干涉实验中，我们无法回答电子到底通过了哪条缝，而最接近真相的回答也只能是模糊的，看上去很荒唐的：电子同时通过两条缝。

微积分方法的发展和使用过程中，往往伴随着无穷级数的大量使用。由于当时没有一整套关于级数收敛与发散的定义与逻辑基础，出现了一系列由于发散级数的滥用产生的悖论，就连欧拉这样的大数学家在运用无穷级数时也相当随意。为了避免在微积分运算中导致的悖论与逻辑混乱，需要一个严格的逻辑基础。柯西在极限概念的基础上，将无穷小量解释为无限趋近于零的变量，从而消除了无穷小既是零又不是零的逻辑矛盾。由于微积分之前主要是常量数学，对变量的理解与熟悉程度不够，因此容易出现逻辑怪圈。理解了变量、极限与连续等概念之后，事情就变得清楚多了。无穷小量不是零，但它的趋势或者说极限是零，这样的逻辑保证了微积分运算中的一致性和逻辑自洽。德国数学家魏尔斯特拉斯发明了描述微积分极限精确定义的ε-δ语言，建立了微积分严格的逻辑基础。阿贝尔的工作澄清了级数领域的一些悖论和错误，并提出应该严格限制发散级数的运算过程。终于，笼罩在微积分领域内的模糊与不确切的地方伴随着时间的流逝逐渐一一解决了。

在这次数学危机的过程中，有两类人做出了大量的突出贡献，第一类可以被称之为实用派，他们被微积分强大的应用能力和解决问题的能力所震惊和深深折服，因此为了尽快的获得更多更有意义的结果，他们往往忽视和牺牲数学的严格性，在直觉和经验的带领下，在微积分广阔的思想领土中跑马圈地，纵横驰骋，他们也确实收获了大量的惊喜，在各行各业收获了许多应用和定理。就像达朗贝尔所说，向前进你就会获得信念。微积分诱人的前景毫无保留的指出了数学前进的方向，落后一步就可能被别人赶超和抢先，哪有时间去理会那些逻辑基础。而另一类人则专注于寻找微积分的概念基础，收拾那些人留下的烂摊子，努力修补因发展太快而产生的缺陷和逻辑漏洞，想方设法构造一个关于微积分的前后一致的自洽理论，因为他们很清楚直觉与经验往往是不可靠的，最终，他们也收获了果实。

在这里，我们看到了科学发展史上的两个发展方向，一种重视理论的实用性，而不怎么关心逻辑上的自洽。即使是相互矛盾，彼此不兼容，那又怎样呢，总不能因噎废食吧。我们很难找到那个可以理解一切的万有理论，可现有的理论也不错啊，它简洁清晰，结实耐用，更重要的是它的预言可以进行验证。牛顿理论无法推测高速与微观世界，但它很简洁；麦克斯韦理论与电场线、磁感线等概念无法理解光量子和点电荷自能发散，但它很美丽；大爆炸宇宙学无法理解奇点，但它很实用；量子论无法理解引力，但它很优雅。如果追求极致的自洽，那就没有什么现有的理论是自洽的了。另一种则更加重视逻辑上的自洽与一致，追求一种极致的科学美。如果没有对完美理论与逻辑的执着追求，很难发现问题的症结所在，理论也难以获得进一步的突破。正是对游离于理论体系之外新事物的深度思考，才让我们不断进取，通过全新的逻辑方法发现一个又一个科学新大陆。显然，我们需要的是这两种态度的叠加与平衡。