66、四元数

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爱尔兰数学家哈密顿曾经试图推广复数的概念，复数的几何图像是复平面内的点，因此，推广复数，寻找超复数的一个思路就是增加空间的维数。哈密顿没有找到三维空间中的超复数，但是很快，他发现了四维的超复数形式，这就是现在的四元数。当哈密顿在散步的过程中突然悟出四元数的规则时，情不自禁的在附近的布鲁穆桥上刻上了这组公式。四元数一个显著的特点是它不满足乘法交换律，这在当时是一个重要的创新。四元数的发现向人们证明存在比复数范围更广的新的数系。

四元数有一些自己独特的性质，例如对于一元n次代数方程，在实数范围内有不超过n个解，依据代数基本定理，复数范围内的解正好是n个，而在四元数范围内，则有超过n个解。一元n次方程在代数学中处于很基础的地位，很多数学方程例如偏微分方程求解、矩阵特征值计算等，经常最终都需要化简为一元n次方程来求解。作为复数的一种推广形式，四元数拥有更加丰富的内涵，它可能会获得更多至少数学上有意义的解。但是长期以来四元数并没有受到足够的重视，相比复数在数学领域呼风唤雨般的基础地位，四元数则不温不火，除了在三维空间中刚体的旋转领域获得了一些应用外，四元数的应用并不是太多。在历史的发展过程中，虽然哈密顿本人对四元数寄予厚望，但是它遇到了一个强大的竞争对手：向量。尽管四元数发现时，向量还没有问世，而且四元数的发现也为向量的诞生提供了思路，但是在应用领域，向量抢走了很多风头，使四元数的应用一直难以出头。

如果我们将四元数看作一个最简单、最基本的整体，也就是将它看作一个数，而不是将它看作一个满足一定代数规则的四维向量，或许会让我们获得一些新的体验。在所有的实数及复数领域中，我们可以尝试去将其中的实数或复数替换为四元数进行分析。这种简单的推广方式由于是数学最基本元素的推广，因此具有很大的普遍性，从中我们有可能会筛选出一些有价值的结果，或者可能获得一些全新的东西。例如在复变函数理论中，将复数替换为四元数会怎样呢？复变函数中的一些定理，像柯西-黎曼方程在四元数中的推广是什么形式呢？在某个描述物理量的向量或矩阵中，将其中的复数替换成四元数会怎么样呢？如果将描述物质演化的基本方程例如薛定谔方程中的变量替换为四元数，会有什么新的结论呢？四元数地位不高的一个重要原因是，四元数的很多应用都可以用向量取代，而且传统中的四元数一般被看作是一个标量与三维空间中的一个点的组合。也就是说，我们通常将它看作一种由实数或复数构造出来的东西，很少将它看作基本数学元素。

可除代数可以通俗的理解为能够进行除法运算的数系。关于有限维可除代数有一条优美的数学定理，称为弗罗贝尼乌斯结构定理：有限维的可除代数只有实数、复数与四元数三种。从中可以看出，四元数是一种与实数、复数同样基础的数学概念。在数学的发展过程中，图像化的数学思维曾经起到过非常重要的指导作用，在思考很多问题时，人们通常喜欢先在头脑中构造出一个坐标系的图像，然后进行分析。坐标系的各坐标轴一般是实数轴，而联想到复数时经常会想象出一个复平面，后来人们逐渐熟悉了想象一个n维的复空间。实数可以相互比较大小并排序，形成一条头脑中清晰可见的数轴，而想象复空间就困难多了，因为复数只能比较模的大小。如果将这种思路借用过来，想象一个n维的四元数空间，这个空间中的每一个点对应一个四元数组成的向量，就可以获得一种直观的图像化的启示，引导我们寻找关于四元数的规律。在这种图像中，n维实空间与n维复数空间都是一些特殊情况，从而可以不断筛选和尝试实数及复数范围内成立的结论，在推广后的四元数空间中是否仍然成立。在这种思路中，我们想象中的相互正交的n条数轴上的点不再是实数，而是复数或四元数。这样，我们可以实现对坐标系的推广，在这样的坐标系内，相互正交的数轴不再像实数轴那样清晰，而是成为一种更抽象的概念。当然，我们可以将这种推广的抽象空间中坐标轴上的点想象为一个向量甚至矩阵，但是由于四元数是涵盖范围最广的可除代数体系，因此四元数应该具有优美的代数结构，有望获得一些更有意义的结论。

四元数最本质的特征应该是它是一种最大范围的可除代数，把它看作一种四维向量应该算是大材小用。四元数的意义应该隐含在代数结构之中，因此通过对四元数的深入理解，我们可以发现一些规律之间的层次。如果一种规律对四元数成立，那它就具有很大的普遍性，是一种基础性的规律；如果对复数成立而对四元数不成立，则普遍性降低；如果仅对实数成立，那么就是一种适用范围更窄的规律。或许对四元数的这种重视可以引导我们发现一些重要的普遍规律，让沉寂多年的四元数理论来到数学与物理的中心位置。

数学与物理的对应往往体现在对一些概念的物理诠释上，图像或公式是数学的，而诠释则是物理的。现实世界的三维实空间是在物理上最常用的数学空间，实空间中的一个点代表一个坐标；如果引入复空间，我们可以把引入复数带来的新的自由度理解为波函数的相位；可是如果是四元数空间呢？可除代数的数学结构要求，最普遍的可除代数空间中每个点拥有三个相位，这有可能帮助我们找到物理上波函数的一种推广。