67、函数与映射

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在寻找数据之间规律的过程中，有时能够找到数据之间的一些对应法则，而这些对应法则一般对数据的理解很有帮助。当两个数集之间的一些元素之间可以通过一定的对应法则联系起来时，被称为映射，而函数是一种特殊的映射，当集合中的元素是数时，这种特殊的映射称为函数，而映射则适用于任何数学对象。

通常函数有三种表述形式：解析式、列表与图像，当数据之间的对应关系无法用这三种方式描述时，也可以通过语言叙述或其它任何可能的方式描述。其中深受自然科学家们喜爱的就是解析式方式，这种方法让我们认识了幂函数、指数、对数、三角函数等初等函数，它们具有良好的数学结构，并催生了微积分这门庞大的学科。在物理学领域，人们也对解析形式的物理规律印象深刻，在他们眼中，自然界的规律就应该是这个样子的，简洁、深刻、优美。万有引力定律、麦克斯韦方程、广义相对论、薛定谔方程无一不是解析方法的胜利。这些初等函数一般拥有有限、连续、可导、可微等良好的性质，这让我们能够有大量的数学工具对它们进行分析。但是我们现在知道，所有函数的数量是一个比不可数的实数集包含元素更多的集合，其中绝大部分是一些没有解析式的“病态函数”，这些函数代表了不同数集之间的对应关系。当两个数集之间的函数关系找到之后，我们就可以依据这种对应求解某个数集中的元素在另一个数集中的对应元素。

当我们试图寻找一个物理系统的规律时，实际上需要做的就是针对这个物理系统进行一系列实验，当我们输入一套实验数据时，系统会输出一组新的数据，这对应于函数的定义域与值域。为了描述系统的性质和演化，我们需要找到输入与输出数据之间的对应法则，也就是找到系统的函数。至于怎样找到这个函数关系，就需要物理学家们发挥他们的想象力了，或者想象一幅联系实验数据的图像，或者找到数据之间的代数演化规则，又或者通过数据拟合寻找经验或半经验公式。函数这种抽象的事物之所以深受自然科学家们的青睐，就是因为它描述的是数据之间的联系，而我们能够直接接触并获取到的东西只有数据。

现代意义上的数据不仅仅是一些以实数形式存在的实验数据，而是所有能够被记录下来的东西。因此，函数的概念就有些力不从心了，映射作为函数概念的推广接过了接力棒。既然集合中的元素可以是很宽泛的任意对象，那么映射作为这些元素之间的对应关系也就尤为重要。在映射的集合里有一类特殊的子集，被称为算子，它代表的是不同函数空间之间的映射，也就是将元素限定为任意函数。算子的作用是将一个函数变换为另一个函数，因此，它往往代表的是一种运算或者操作。这也是算子理论能够在物理学领域广泛应用的原因，尤其在量子理论中，算子可以诠释为处于理论关键地位的力学量。由于物理实验总是由一系列操作构成的，而算子可以描述这些操作，数学与物理就在这里找到了衔接之处。在这里，我们发现了一种超越于实验数据之上的存在，函数这种对应关系本身也可以作为一种广义的数据，而算子则是这种广义数据之间的对应关系。函数不是直接从实验中获取的客观数据，而是人们想象力的产物，因此，集合中的元素可以是客观的，也可以是主观的。量子论中的确存在许多不同于其它理论的主观的因素，在牛顿理论或相对论中涉及的物理量都是可观测的客观量，像力、加速度、能量动量等可以从实验数据中直接获得。但是量子论中处于关键位置的波函数、力学量、电磁势等都带有很强的主观性质，它们是某个虚拟的数学空间中想象出来的东西，测量过程会破坏它们的样子。但是离开了这些主观因素，我们理解起实验数据来会变得非常困难。

我们看到，映射相当于一种操作过程，将集合中的对象转变为新的对象。如果有一系列的操作按照一定的结构组合起来，并作用于某个对象，那么这些操作过程构成的整体我们可以称之为算法。我们可以设计不同的算法，将某个初始对象一步步的按照我们的意愿转变，最终实现我们需要的功能，这实际上相当于现在的计算机程序。有时候，当我们盯着电脑桌面上的浏览器图标或手机界面上的APP时，往往会陷入一种困惑之中。这个被称之为软件的东西到底存在还是不存在呢？软件是由一系列的操作或映射构成的，它反映的是数据之间的关联，如果追根究底，这种关联是主观的，我们或许可以说软件是一种主观上存在，客观上不存在的东西。但是我们面对这种说法心里总有一种说不出的不自在，一方面，我们想方设法的严格区分客观数据与主观概念，因为大自然不会出错，客观数据是最基础的东西，而掺杂了主观概念的“广义数据”则可能只会是一种近似的描述自然的工具，我们不知道在不久的将来，会不会有一套新的主观概念和世界观取代现有的理论，更精确的解释客观数据；而另一方面，我们又希望模糊主观与客观的区别，因为量子论暗示我们，主观与客观之间可能真的存在相互作用，它们似乎没有清晰可见的界限。

在如今的大数据时代，我们记录了大量不同格式与类型的数据，这些数据之间的映射关系需要我们去努力寻找。函数与算子理论如今已经枝繁叶茂，而新的数据类型构成的集合之间的映射，则仍然处在起步阶段。科学发展的历史告诉我们，数据并不是杂乱无章的，在数据的背后有一只看不见的手在支配着它们，这只看不见的手我们一般称之为规律和规则。我们如今已经发现了一些普通数据与函数的规律，相信伴随着人们对新型数据的分析和理解，会发现更多更有趣的规律。